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作家：James Propp 2023-5-18
译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号）2023-5-22
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1853年，数学家兼物理学家威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）终末一次拜访了凯瑟琳·巴洛（Catherine Barlow），他也曾犀利地爱着她，仍对她充满神情。三十年前，当他照旧齐柏林三一学院的一年级学生，而她照旧凯瑟琳·迪斯尼（Catherine Disney）姑娘时，她俘得回了他的心——而她的父母自后决定把她嫁给威廉·巴洛牧师，一个比她大十五岁的有钱东说念主，觉得会很妥贴她。事实证明他们错了。【注#1】
三十年后，淌若巴洛牧师对汉密尔顿出当今他家中感到起火，可能会海涵他的私行闯入，因为他的太太快死了，并央求汉密尔顿终末一次探望。汉密尔顿是一位已有文章出书的诗东说念主和科学家，在他早期的一些诗歌中深情地写过她，但他当今献给她的不是诗歌，而是他写的一篇数学论文，他我方发明的主题是四元数分析，并赢得了好多的赞誉，以至于成为齐柏林的必修磨真金不怕火主题之一。事实上，一年前，凯瑟琳的男儿需要一些四元数的率领，汉密尔顿引导了这个男孩，也许恰有契机上演他旧情东说念主男儿的父亲变装。
迷水商城凯瑟琳谈到她与巴洛的婚配如何被她的父母强加给她时，汉密尔顿为她感到震怒。她告诉他她不圆满的婚配，以及她多年来对汉密尔顿坚韧不拔的爱，他被哀怜所投降。然后，在来访快结果时，他尝试了三十年前应该尝试的事情。“站起来啊，我会采纳并带走她正当给我的一切作为我的赏赐 —— 一个吻，不，好多吻：因为已知接近死一火使这种圣餐变得雪白。事实上，咱们俩不可能不慷慨，这是咱们有生以来第一次，咱们的嘴唇重逢......然则，我敢断言，在那为数未几的被允许的时刻，咱们的深情传递是皎洁的，不像那些在回生辰中既不受室也不被赐予婚配的东说念主同样，而像天国中天主的天神那样。
凯瑟琳在威廉这次探望后病笃了两周，然后在53岁时物化。与此同期，威廉回到了他的家和他的太太身边，且归完成他所觉得的拖累和责任：向天下解释四元数的任务。他知说念我方照旧莫得作念对。他会在他的余生中链接尝试。
狂喜爱好者
年青的威廉·罗文·汉密尔顿有好多风趣和掌持他感风趣的任何事物的决窍。这个男孩在五岁时学会了拉丁语、希腊语和希伯来语。他对数字莫得风趣，直到八岁时在旅游中遭受了精于计较的神童泽拉·科尔本（Zerah Colburn）。威廉很快自学了默算的艺术，并与这位年青的好意思国东说念主竞争，诚然他弗成击败科尔本，但从各方面来看，他的弘扬齐值得赞叹。
汉密尔顿也心爱古典学（考虑古希腊古罗马雅致无比的西方学科，需要练习古希腊语和拉丁语，zzllrr小乐译注），并在三一的第一年赢得了 optime（最高荣誉）——这是几十年来其他一年级学生从未完成的豪举。几年后，他卓越了他早先的建树，赢得了古典学和科学的双重得益，这是三一学院学生往日从未作念过的事情。17岁时，他在拉普拉斯知名的《Mécanique céleste（天膂力学）》中发现了一个乖谬。他在三一学院的一位竭诚约翰·布林克利（John Brinkley）感动地说：“这个年青东说念主，我不说他改日是，而是当今就照旧是他这个年齿段的第一位数学家”。不久之后，布林克利成为主教并毁灭了他的造就职位，汉密尔顿（那时照旧别称本科生！）被选为布林克利的继任者。该职位附带的福利之一是爱尔兰皇家天文体家的头衔以及住在齐柏林郊区的邓辛克天文台。这项任命对爱尔兰来说并不好（新的皇家天文体家在天文体方面莫得特殊的才能），但对汉密尔顿来说却很好，因为通过他在天文台的租约，他最终遭受了住在近邻的海伦·贝利（Helen Bayly），并娶了她。【注#2】
在启动他的天文体职责之前，威廉游览了不列颠群岛，并遭受了诗东说念主威廉·华兹华斯（William Wordworth）；尽管年齿收支三十岁，但两东说念主很快就成为了一又友。汉密尔顿的列传作家罗伯特·格雷夫斯（Robert Graves）报说念说，不测顺耳到华兹华斯将汉密尔顿和诗东说念主柯尔律治（Coleridge）形貌为“他见过的两个最了不得的东说念主，以他们所有的资质来看”。
这两个威廉的共同点比东说念主们设想的要多。华兹华斯不是哄骗科学的一又友（“科学只哄骗于生活的物资用途，与设想开战并但愿祛除设想力”），但他对包括数学在内的更简单的科学神色有所抚玩。在《序曲 Prelude》第六卷中，华兹华斯写说念：
然则，咱们可能不会完全淡薄从几何科学基础中得回的乐趣......他接着深情地形貌了他第一次斗争欧几里得几何学，归来说念：
那些抽象的魔力
何其雄壮...
一个独处的天下，
由简单的机灵创造。
转而看汉密尔顿，他具有华兹华斯招供和赞叹的诗意敏锐性。【注#3】
汉密尔顿养成了寄给华兹华斯诗歌的俗例，寻求后者的坦率评价。华兹华斯看得出来，汉密尔顿既不是半吊子，也不是另一个华兹华斯。他还知说念，从汉密尔顿学术生存的凯旋来看，这个年青东说念主对数学规模有着特有的视力。1831年，华兹华斯写信给汉密尔顿说：
“你给我寄来诗句，我和咱们全球同样，终点高兴地收到这些诗句；然则，咱们记挂这种处事会诱骗你偏离科学的说念路，你似乎注定要以如斯多的荣誉前行，并给东说念主们造福。我必须一次又一次地强调，诗歌的创作需要比东说念主们欢然笃信的要多得多的艺术性，而其中的十足凯旋取决于多数的细节，而这些细节使我感到哀吊，你应该臣服于得回常识。”【注#4】
“之前想法越来越清澈”
淌若你考虑过笛卡尔坐标，你可能还铭记它们是以独创东说念主勒内·笛卡尔（René Descartes）的名字定名的，它们有两条直线，x轴和y轴，并在一个称为原点（origin）的点处相交。原点由数字对(0，0)线路，你可能照旧猜到这个标记可以追忆到笛卡尔，但事实并非如斯。教咱们用括号内以逗号分隔的两个数字来线路平面上的一个点的数学家不是笛卡尔，而是汉密尔顿。
汉密尔顿之是以进行这项立异，是但愿揭开复数的机要面纱。汉密尔顿写说念：“莫得一个坦率和明智的东说念主会怀疑平行线（Parallel Lines）主要性质的真实性，正如两千年前欧几里得（Euclid）在他的《几何蓝本 Elements》中提倡的那样。但是，怀疑以致不笃信负数（Negatives）和虚数（Imaginaries）的学说并不需要特殊的怀疑想法。”我不会在这里征询汉密尔顿解析负数的措施，但他找到了一种令东说念主信服的措施，将复数置于更坚实的东西中，即实数对，或者他称之为数对（couple）。【注#5】
汉密尔顿将数对相加的章程很肤浅：数对(a， b)和数对(c， d)的和等于数对（a+c，b+d）。数对相乘的章程更为复杂：数对(a， b)和数对(c， d)的乘积是数对(ac − bd， ad + bc)。有东说念主可能会反对说第二条章程看起来很奇怪，但莫得东说念主会反对说其中任何一条章程推理违和。荒芜是，断言 (0， 1) 乘以 (0， 1) 得到(−1， 0) 只不外是数对乘法章程的径直哄骗。【注#6】
迷水商城这种政策如斯灵验的原因是，淌若你只看形为(r， 0)的数对——其中第一个数是任何你心爱的数，第二个数是0 —— 你会发现组合数对的章程掩饰了组合数字的普通章程。具体来说，(r， 0) 加上 (s， 0) 等于 (r+s， 0)，而 (r， 0) 乘以 (s， 0) 等于 (rs， 0)。因此，当使用汉密尔顿的加法和乘法章程组合时，这么的数对活动形态与“单个”数（普通实数）在使用普通单个数加乘章程组合时的活动形态调换。总的来讲，淌若咱们把“实数”当作“鸭子”，第二个数为零的数对，就像“鸭子”同样步辇儿，像“鸭子”同样游水，像“鸭子”同样嘎嘎叫。但是，一朝你承认(−1， 0)像数字-1同样嘎嘎叫，就很难幸免进一步断言(0， 1)像-1的平方根同样嘎嘎叫，即使你补助觉得，在数字规模，不存在这么的平方根。
19世纪的玄学和19世纪的数学恰是在这里分说念扬镳。对于玄学家来说，将像(-1， 0)这么的数字与像-1这么的数字同日而说念将是一个严重的乖谬，实验上是一个规模乖谬（玄学家可能犯的最莫名的乖谬之一）。但是当代数学需要这种东西，尽管为了幸免逻辑罗网，东说念主们必须着重性将两者连系起来，而不是确凿将它们等同起来。当代数学的一个分支称为规模论（category theory），使咱们能够开脱窘境——将“鸭子测试”不仅哄骗于复数，而且哄骗于咱们考虑的险些所有其他事物。【注#7】
汉密尔顿揭开复数机要面纱的标记形态补充了照旧很广宽的几何措施，该措施将√(-1)与位于y轴上的笛卡尔平面中的点关连联，这个点比原点高一个单元。淌若将两种神色的去机要化结合起来——“复数只是平面上的点”和“复数只是实数对”——就会得出“平面上的点只是实数对”。这为四维空间的去机要化绽开了大门，因为还有什么比括号内用逗号分隔的四个数字更平日无奇的呢？几代东说念主之后，可能是希尔伯特迈出了对欧几里得空间进行算术化的终末一步（卓越欧几里得形貌对于所有正整数n的 n维欧几里得空间，而不单是是 1、2 和 3），但绽开希尔伯特将要走过的大门的是汉密尔顿。
问题
汉密尔顿设计了数对的一种算术后，天然想知说念是否有办法扩充到三元数triple（或者，他随机称之为三元组triplet）。正如他自后在《四元数讲座》（1853年）的绪言中所写的那样：“然则，有一个动机促使我荒芜贵重辩论三元数......这是以某种新的和有用的（或至少赞佩的）形态，通过一些未被发现的扩充，将计较与几何学联结到三维空间的愿望。”
因此，汉密尔顿辩论了神色为（a， b， c）的三元数，每个三元数齐被视为代表一个“超复数”（hypercomplex）a + bi + cj，其中i是-1的普通平方根，j是-1的另一个平方根，与i和-i齐不同。汉密尔顿很明晰如何界说三元数的加法：就像 a+bi 加上 a'+b'i 等于 (a+a')+(b+b')i，汉密尔顿看到 a+bi+cj 加上 a'+b'i+c'j 应该等于 (a+a')+(b+b')i+(c+c')j 。
但是乘法应该如何界说呢？这个问题困扰了汉密尔顿多年，他并莫得向家东说念主粉饰我方的郁闷。正如他自后在给男儿阿奇博尔德（Archibald）的一封信中所说：
“1843年10月初，每天早上，当我下来吃早餐时，你的哥哥威廉·埃德温（William Edwin）和你经常问我：'爸爸，你能作念三元数的乘法吗？’我老是不得不哀吊地摇摇头回答，'不，我只会加减。’”
天然，汉密尔顿可以用多数种形态界说三元数的乘法，举例通过公式 a + bi + cj 乘以 a' + b'i + c'j 等于 (aa') + (bb')i + (cc')j，就像他可以通过公式 a + bi 乘以 a' + b'i 等于 (aa') + (bb')i。但是后一个界说不会给出任何终点赞佩的东西（荒芜是，它不会给出一种念念考复数的措施），是往日一个界说不是他想要的东西。但是，当他还莫得发刻下，他岂肯说出想要发现的东西呢？
其实他知说念想要访佛复数的乘法章程。那么数对乘法章程中的什么性质，他可能但愿三元数乘法章程也能安静呢？
他挑出了两种性质。第一种性质是分派律（distributive law），它断言 (a + bi)(c + di) 可以张开为(a)(c) + (a)(di) + (bi)(c) + (bi)(di)，或张开为 ac + adi + bci + bdii （是的 ，ii = −1，但这不是分派率的一部分）。第二个性质是模定律（moduli law），它断言，淌若咱们把 (a + bi)(c + di) 写为 x + yi，则 x + yi 的模（modulus，即联结 (x， y) 到 (0， 0)的线段长度）应该是 a + bi 的模和 c + di 的模的乘积。这是我在《螺旋天地的歪曲数字》 https://mathenchant.wordpress.com/2022/07/17/twisty-numbers-for-a-screwy-universe/ 中写到的“向量大小的乘法”（magnitudes multiply）章程。换句话说，√(x²+y²) 应该等于 √(a²+b²) 乘以 √(c²+d²)，或者（去掉那些敌视的平方根）x²+y² 应该等于 (a²+b²)(c²+d²)。【注#8】
因此，汉密尔顿牢牢收拢类比（analogy）的缰绳，寻求一种措施将乘积（a+bi+cj)(d+ei+fj）写成(...) + (...)i + (...)j（咱们将那些未知的括号抒发式称为 x、y 和 z），这么 x + yi + zj 将等于张开后ad + aei + afj + bdi + beii + bfij + cdj + ceji + cfjj的和（一种新的分派律），同期 x² + y² + z² 的和因式解析为 (a²+b²+c²)(d²+e²+f²)（新的模定律）。
鉴于新分派性质假定的正确性，汉密尔顿需要作念的等于弄明晰ii，jj，ij和ji是什么（或者更确切地说应该是什么），他能将任何三元数乘以任何其他三元数，尽管淌若他作念出乖谬采取，则对三元数的运算将无法安静他想要的模定律。他照旧知说念但愿 ii 和 jj 等于 −1，是以只需弄明晰如哪里理 ij 和 ji 的问题。早先他设两者等于 0，但这导致了问题。事实上，方程 ij = 0 与模定律相矛盾，因为 i 和 j 的模均为 1，而 0 的模为 0。
汉密尔顿决定放宽ij = ji = 0的假定，但保留ij和ji是彼此违抗数的假定。也等于说，他假定对于 p、q 和 r 的某种明智采取，会有 ij = p+qi+rj，而 ji = −p−qi−rj。他给 i 和 j 的未知乘积起了 k 这个名字，并发现使用 ij = k 和 ji = −k 会导致两个一般三元数的乘积模中出现一些看起来很有但愿的对消（cancellation）。事实上，他发现这两个公式导致了其他四个访佛的公式：jk = i，kj = −i，ki = j和ik = −j。但是他找不到数字p，q和r可以使完整的假定见效。
管制决议
迷水商城1843年10月16日，汉密尔顿和他的太太沿着皇家运河的纤说念行行运，见地上的僵局得到了管制。他倏得意象，他的k不是一个需要解出的未知数；它是一个独处的虚数单元，与i和j是对等的伙伴。也等于说，他一直试图作念三元数乘法是乖谬的；违抗，他应该辩论将神色 a + bi + cj + dk 的四元数相乘。章程 ii = −1， ij = k， ik = −j， ji = −k， jj = −1， jk = i， ki = j， kj = −i 和 kk = −1（与分派律结合）给出了计较任何两个四元数乘积的表率，况且，正如他沿着运河得回直观并在自后考证的那样，四元数乘法的这种界说安静模定律。汉密尔顿兴盛地将他的中枢发现雕镂到运河沿岸的石桥来记挂这一打破：
i²=j²=k²=ijk=-1
汉密尔顿在布鲁姆桥上的雕镂早已被抹去，但这个故事是数学家时有滑稽而体恤的记挂碑。也许它也应该成为数学家细君具有耐性的记挂碑；我想汉密尔顿夫东说念主那时在想“为什么他弗成像其他东说念主同样在餐巾纸上写这些东西？”但她把这个想法只留给了我方。
在他得回发现后的第二天，汉密尔顿写信给他的大学一又友数学家约翰·格雷夫斯（John Graves），他和他的兄弟罗伯特·格雷夫斯（汉密尔顿最终的列传作家）和查尔斯·格雷夫斯同样，对空间代数的见地陶醉，他们的处事在某些方面启发了汉密尔顿我方的想法。汉密尔顿写说念：“...在这里，我倏得坚硬到，在某种风趣风趣上，咱们必须承认空间的第四维，以便用三元数进行计较。...咱们必须承认第三个虚数标记 k，不要与 i 或 j 沾污，它是等于以i作为被乘数，j作为乘数的乘积；因此，我被引入如a + bi + cj + dk即(a， b， c， d)四元数之门【注#9】。”汉密尔顿是第一个，但远非终末一个，数学家遭受“特殊维度”的迷东说念主征象，其中某些刚巧使奇特的事情发生。【注#10】
迷水商城格雷夫斯很快就看到了汉密尔顿所作念的事情的紧要性，况且比汉密尔顿更快地看到了它如何导致更高的维度。格雷夫斯在回答中写说念：“淌若用你的真金不怕火金术可以制造出三磅黄金，你为什么要停步于此？”（其中“三”大约是汉密尔顿的i，j和k）。两个月后，格雷夫斯写信给汉密尔顿，提倡了他我方的数字系统，他称之为“八元数”（octave），涵盖汉密尔顿的，但加入了四个新的虚数单元l，m，n和o。八元数是由数学家亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）独处发现的（有些东说念主称它们为凯莱数），当今平日被称为八元数（octonian）。还值得一提的是，八元数乘法弗成安静结合性质：也等于说，淌若o，p和q是八元数，那么乘积(op)q和乘积o(pq)平日不荒芜。在这里，咱们看到了一个我称之为量度（trade-off，鱼与熊掌不可兼得）原则的例子：数学系统范围的扩大平日需要葬送某个一般性祭坛上的东西。
咱们之前照旧看到了量度原则。辩论一下：当咱们从实数转向复数时，咱们失去了三分法定律（trichotomy law，给定两个实数r和s，r < s，r = s，r >s三种关系中恰有之一开采），事实上，说一个复数小于或大于另一个复数应该是什么风趣是不明晰的。复数安静交换律（commutative law，给定两个复数α和β，αβ = βα），但是当咱们从复数移动到四元数时，咱们失去了交换性质。因此，当咱们从四元数移动到八元数时，咱们失去了结合性，这不应该让咱们感到诧异。咱们向更全面的数字系统发展，有所扩大，但也有所稀释。（除了八元数以外，还有一些系统，荒芜是十六元数（sedenion），葬送了更多的性质，举例模定律，催药在线购买但我对它们无话可说）。是以，我对格雷夫斯的反问“为什么要停步于此？”的回答是，童话中蓄意者所知的东说念主生渊博事实：愿望成真，但需代价。
1844年，汉密尔顿杀青了他使用四元数将计较与几何和物理学连系起来的愿望。他觉得四元数 a+bi+cj+dk 是两部分的和：他称a为标量部分，bi+cj+dk为向量部分——可写成三元数 (b， c， d)。他指出，他的向量为牛顿对于速率和力相加的念念想提供了一种天然话语。更紧要的是，汉密尔顿标明，淌若将每个四元数写为标量和向量的总数（a+v，举例，其中v = bi+cj+dk），那么两个四元数a+v和a'+v'的乘积可以张开为多样独处赞佩抒发式的和：标量aa'；标量 − bb' − cc' − dd'；向量 ab'i + ac'j + ad'k 和 a'bi + a'cj + a'dk 和向量 (cd'−c'd)i + (b'd−bd')j + (bc'−b'c)k。是以事实上，他最终找到了三种紧要的新措施来乘以三元数（抒发式 ab'i + ac'j + ad'k 和 a'bi + a'cj + a'dk 以访佛形态形成，因此它们行为一种单一的乘法措施）。第一种措施将向量乘以向量以产生标量；第二种措施将标量乘以向量以产生一个向量；第三种将向量乘以向量以产生向量。其中第三种在某些方面接近汉密尔顿早先寻求的“一种新的有用（或至少赞佩）的三元数乘法措施”，它安静分派律，但它不安静模定律，是以他莫得辩论它，直到它作为四元数乘法的副产物出现。（它也不是安静结合率的）。【注#11】
汉密尔顿还想出了如何将四元数与三维空间中的旋转连系起来。这是一件很天然的事情，因为复数与二维空间中的旋转密切关连。复数 w = cos θ + i sin θ 具有以下性质：当你将其他复数 z 乘以 w 时，你将 z 围绕复平面的原点旋转一个角度 θ。汉密尔顿发现了一个访佛的四元数故事，尽管与四元数的非交换性质保持一致，但它有点辣手。为了使用旋转向量 w 对三维向量 v 进行操作，咱们得到wvw'，其中 w' 是 cos θ − i sin θ（w 的倒数）。向量 wvw'是向量 v围绕i轴旋转 2θ 角。（2 这个因子很紧要；预示着四元数在20世纪初被放手以及它们在20世纪末的回生，我将稍后解释）。
汉密尔顿欢然在他的四元数界说中放手交换性质，这天然是一个果敢而紧要的法子，但它并不是虚构而来的。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）照旧证明，当一个东说念主投降球体的一个轴旋转，绕第二个轴旋转时，复合操作又是围绕第三个轴旋转一定角度，他知说念实践两个重量旋转的秩序会影响得回的复合操作。这是你可以用任何大致为立方体的物体粗野考证的东西（一册书就可以了）。将书放在你眼前的桌子上，先旋转90度俯仰角（pitch，围绕x轴旋转），然后旋转90度横滚角（roll，围绕z轴旋转），并防御书的场地。当今重叠实验，但这次先进行俯仰角旋转；你会防御到，这本书的最终场地与那种先俯仰角旋转然后横滚角旋转不同。淌若按照先俯仰角后偏航角（yaw，围绕y轴旋转），或先偏航角后横滚角，情况也有所不同。https://zh.wikipedia.org/wiki/航空器三主轴
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汉密尔顿知说念欧拉的处事，是以他可能怀疑，淌若他的新数字要形貌三维旋转，那么新数字必须摊派旋转已具有的非交换性。【注#13】
有一些赞佩的谜题基于三维空间中旋转不安静交换率，以及在桌子上盘曲立方体时，它可以按照与启动不同的场地回到原位置这一关连事实。罗伯特·阿博特（Robert Abbott）始创了所谓的盘曲立方体迷宫；一个具有挑战性的例子是 https://logicmazes.com/rc/gms5.html 。淌若你更心爱带有视频组件的盘曲对象游戏，请张望Block 'n' Roll https://www.playit-online.com/puzzle-onlinegames/block'n'roll/ 。或者，淌若你想要与四元数更径直关连的游戏，请尝试“Groupdoku”四元数游戏 http://quadratablog.blogspot.com/2018/08/mathfest-2018-puzzles-quaternion.html 或汉密尔顿纸牌游戏 http://www.mathsireland.ie/hamilternion 。
死一火与新生
淌若四元数表面是念念想阛阓上的一家初创公司，那么它的股票价值将在汉密尔顿的伟大发现三十年后达到顶峰，那时物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）使用四元数来制定他的电磁学表面。
从那之后启动走下坡路。汉密尔顿尽管（或者也许是因为）有诗意神韵，但并不有助于让他成为他的表面最清澈的解释者；他经常很啰嗦。在他终末一次尝试解释四元数（威廉身后由他的男儿完成）时，他采纳了欧几里得的《几何蓝本》作为他的模子，并祛除了他早期的四元数代数公式，转而使用更几何的东西，这天然更无助。汉密尔顿觉得，他早先的“i，j和k”措施的污点在于，它需要荒芜采取三个垂直轴。你采取哪三个垂直轴最终并不紧要，但你必须采取，不然你就无法将表面付诸实践。汉密尔顿粗陋在1848年写说念：“我觉得四元数是不优雅或不齐全的，或者更确切地说，迄今为止，它张开的景色一朝变得或似乎有必要乞助于x，y，z等时，是不优雅或不齐全的”。因此，他提倡了一种新的措施，其中向量位于欧几里得的3维空间中（莫得偏疼的轴），四元数被界说为一个向量的商除以另一个向量。这种措施很难投降，而跟着时候的推移，越来越少的东说念主阅读汉密尔顿的四元数蓝本。用凯莱的话来说，四元数代数就像一张微型舆图，“它包含了一切，但必须张开成另一种神色才能被解析。”
张开的东说念主是Josiah Willard Gibbs（约西亚·威拉德·吉布斯），Oliver Heaviside（奥利弗·赫维赛德）和Hermann von Helmholtz（赫尔曼·冯·亥姆霍兹）的三东说念主组，他们扯破了四元数，分裂了他们的标量和向量部分。在咱们的科技创业类比中，你可以将这三者视为企业抢夺者。他们看到汉密尔顿想出了一些优秀的产物，但莫得给它们打上烙迹，也莫得创造一个好的界面（即便捷的象征风趣风趣）。因此，他们界说了
标量乘积
迷水商城a(b， c， d) = (ab， ac， ad)
点积
(b， c， d)·(b'， c'， d') = bb' + cc' + dd'
叉积
(b， c， d)×(b'， c'， d') = (cd' − c'd)i + (b'd − bd')j + (bc' − b'c)k
所有这些齐是汉密尔顿发现但莫得定名的。完整的四元数乘积呢？“哦，那是四维的；难以设想；对咱们来说不是一个好产物。咱们怎样能把它卖给一年级的学生呢？”这三东说念主从四元数公司的常识产权IP中窃取了“标量”和“向量”这两个词，但扔掉了无利可图的四元数自己。麦克斯韦使用汉密尔顿发明的三种神色的向量乘法（升级为微分算子散度 divergence、梯度 gradient和旋度 curl）重写了他的电磁学公式，莫得提到四元数。
汉密尔顿的数学与19世纪后期物理学的需求（如麦克斯韦在电磁学方面的处事）之间的一种不匹配可以在前边提到的倍角征象中看到。当你通过将四元数向量 v 前乘以向量 cos θ + i sin θ 并将其后乘以 cos θ − i sin θ 来操作四元数向量 v 时，你灵验地将 v 绕 i 轴旋转的角度为 2 θ 而不是 θ。淌若 θ 是 180 度怎样办？咱们的旋转将 v 发送到 （−1)(v)(−1），它等于 v。这可能看起来可以，但辩论到(+1)(v)(+1）亦然v。是以咱们有两个不同的四元数，+1 和 −1，它们齐对应于围绕 i 轴的无操作的旋转。这种冗余并不是误操作的旋转所特有的；对于你可以在三维空间上实践的使原点固定不动的每种旋转，有两个四元数单元元可以完成这项处事。（将其与复数进行对比，其中复数单元元与围绕 0 的旋转之间存在逐一双应关系）。从某种风趣风趣上说，四元数的复杂过程是吉布斯、赫维赛德和冯·亥姆霍兹所遐想的多样哄骗所需的两倍。
迷水商城作为莫大的轻侮，知名物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，别名开尔文勋爵 Lord Kelvin）抒发了对非四元数向量的强烈偏好：“四元数来自汉密尔顿，在他确凿出色的处事完成之后，诚然精细玄机，但对于那些以任何形态斗争它们的东说念主来说，四元数是一种未搀杂的泼辣”。四元数学会（崇敬称呼为国外促进四元数和关连数学系统考虑协会）于1913年闭幕。当我了解线性代数课程中的向量时，向量与标量相加是盈篇满籍的——数学上相等于苹果与橘子相加。我怀疑我的竭诚不知说念向量的发明者强调笃信你不仅可以，而且应该把标量和向量相加！
迷水商城在某种过程上，四元数的问题在于它们在被需要之前提前出现。以我刚才谈到的翻倍征象为例。为什么应该有两种形貌每个旋转的形态？一个很好的谜底是，在机器东说念主时期中，有两种拓扑不同的形态可以通过刚性连杆来杀青任何给定的旋转！这与这么一个事实连系，淌若你手里拿着一个盘子，那么，不放开盘子或改造你持住它的形态，而只需先将盘子放在你的手臂上，然后在它底下，你可以将盘子旋转 720 度，这么即使盘子照旧转了两圈，你的手臂位置还会跟往日同样。通过重叠该动作（称为巴厘岛板妙技 Balinese plate trick），你可以杀青苟且偶数的旋转。但是，你的手臂无法只旋转一整圈，或任何奇数整圈，而回到往日的位置。四元数 +1 对应于通过偶数圈旋转板的机器东说念主机械安装，而四元数 −1 对应于通过奇数圈旋转板的机器东说念主机械安装。数学家安德·霍洛伊德（Ander Holroyd）制作了乐高机械设备来证明这一征象；请看他的视频“旋转连杆”（下图 https://youtu.be/oRPCoEq05Zk ）。
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迷水商城淌若你倾向于我方构建一个，请参阅他的证明 https://rebrickable.com/mocs/MOC-50050/aeh5040/spinor-linkage/ 或随附的文章 https://arxiv.org/abs/2107.01681 。另请参阅维基百科文章反歪曲机械安装 https://en.wikipedia.org/wiki/Anti-twister_mechanism ，以了解连系如何幸免在电缆中歪曲的更多信息。
以致在机器东说念主时期出现之前，就有了量子表面，荒芜是费米子（fermion）的见地：量子波函数安静费米-狄拉克统计的粒子。因而给粒子一个完整的旋转对应于将波函数乘以-1。（从未见过费米子？不，你见过，淌若你在冬天触摸过门把手并受到电击的话；电子是费米子。）费米子的数学形貌用当今所谓的泡利矩阵（Pauli matrices）来线路，但用四元数也会作念得很好。
除了在机器东说念主时期中的用途外，四元数当今还用于游戏软件。1996年发布的《古墓丽影》可能是第一款通过使用四元数杀青光滑三维旋转结果的巨匠阛阓视频游戏；连系更多信息，请参阅 Gameludere 文章《欧拉角、汉密尔顿四元数和视频游戏》https://www.gameludere.com/2020/03/12/euler-angles-hamilton-quaternions-and-video-games/ 。从1986年航天飞机的姿态按捺机械安装启动，四元数在天外旅行中也施展了作用。即使年青的爱尔兰皇家天文体家对19世纪的天文体莫得孝敬，汉密尔顿也对20世纪的航天产生了影响！
汉密尔顿在另一个方面是有预知之明的。在自后出书的《四元数讲座 Lectures on Quaternions》中，他添加了一个脚注，说：“将这个空间外的单元与时候的见地连系起来，是天然的（在我看来，当今仍然如斯）”。也等于说，在四元数a + bi + cj + dk中，他设想a是访佛时候的，bi + cj + dk是访佛空间的。在这小数上，他料想了闵可夫斯基空间（Minkowski space），狭义相对论发生的舞台。还铭记麦克斯韦早先用四元数写了总揽电磁学的方程，麦克斯韦方程（以去四元数的神色）启发了爱因斯坦的时空见地。淌若麦克斯韦莫得被大向量（Big Vector）劝服，用标记重写他的方程，防碍四元数的标量和向量部分，狭义相对论会更早被发现吗？
我将以汉密尔顿我方以十四行诗（sonnet）的神色演绎他的伟大发现来结果，名为Tetractys（圣十）。【注#14】
高级数学之魔力严厉，
直线与数字乃吾主题；
觊觎它未设立的后代，
而王座留在真谛苍穹；
之前想法越来越清澈；
一维时候和三维空间，
在标记链中牢牢环绕：
我渴慕而康复的耳朵，
迷水商城捕捉到古曲渺小回声，
旧念念想抽象宏伟糊涂，
他柔软一笑以示苏醒，
晚年我在西方局势中，
迷水商城奴才朦胧的毕氏据说；
作念机要西游的四元梦。
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【尾注】
#1.为了自制对待凯瑟琳的父母，应该防御的是，汉密尔顿从未告诉凯瑟琳，他的神情不单是兄弟情怀，更毋庸说告诉她的父母他有任何至心的意图了。
#2.尽管东说念主们很容易将威廉和凯瑟琳塑形成注定要失败的恣意的悲催东说念主物，凯瑟琳的故事无疑是灾难的，但威廉能够在他的性掷中链接前进，而他与海伦的婚配是幸福的。
#3.1832年，汉密尔顿在一次对于天文体的演讲中声称：“尽管诗歌和科学之间存在所有确凿的互异，但她们之间存在很强的相似性；两边齐领有的力量，将念念想擢升到千里闷干扰的地球之上，并从初级道理中胜出；两者齐有点火可激励的体恤和对成名的好意思好愿望的倾向；齐可以将她的奉献者带入她我方创造的天下的魔力；也许，两者齐产生一种随之而来的倾向，对喧嚣荡漾的现实生活的不妥当。
#4.在对这些细节进行了一次详备征询之后，华兹华斯写说念：“我可以毫无费神地说，这些诗句终点有活力，赞佩而敷裕诗意。它们所形貌的性情变化是一个有启发性的千里念念对象，举座齐带着神情运行”。尽管如斯，总的信息照旧很明确的：你是一位优秀的诗东说念主，但却是天下级的数学家，是以要把元气心灵集结在后者上！
#5.今天咱们称这么的数对为有序对，其中包含修饰符“有序”是为了强调(2， 3)和(3， 2)将被解释为不同的数对。这个适度条款是必要的，以确保 2 + 3 i 和 3 + 2i 将被解释为不同的复数。
#6.纪念一下，汉密尔顿第一次斗争数学是通过默算（mental calculation）艺术。我推测，这种特殊的发蒙——专注于如何对数字进行操作，而不是数字的实验含义——使他倾向于数学实体的操作措施，这对于他处理复数以及他自后发明的四元数至关紧要。
#7.这是亨利·庞加莱（Henri Poincaré）写下“数学是给不共事物起调换称呼的艺术”时所抒发的一部分风趣。有序对 (0， 1)（汉密尔顿东说念主为算术的住户）和数字 −1（实数系统的住户）是不同的实体，但它们在如何与相应其他实体交互方面具有调换的属性，因此出于某些指标，咱们有权将它们视为调换。
#8.你可能会觉得，既然咱们当今是三维而不是二维，这些指数应该是3，而不是2。这是学生在学习如何将勾股定理扩充到三维经常常作念出的估计。但这两个如实是正确的；从 (x， y， z)到 (0， 0， 0) 的距离是 x² + y² + z² 的平方根，而不是 x³ + y³ + z³ 的立方根。看到后一个公式不正确的一种措施是辩论 z = 3 时的情况。淌若立方和的立方根公式正确，则 (x， y， 0) 和 (0， 0， 0) 之间的距离必须是 x³ + y³ 的立方根。但由于 (0，0，0) 和 (x，y，0) 齐位于 z = 0 平面内，咱们可以哄骗普通的二维距离公式，推导出 (x，y，0) 和 (0，0，0) 之间的距离是 x² + y² 的平方根，而不是 x³ + y³ 的立方根。
#9.自后他会后悔他莫得从希腊词根gram-（直线）和arithm-（数字）中称它们为grammarithm，从而咱们称之为四元数的标量和向量部分将改为称为grammarithm的arithmetic和grammic部分，但那时改造术语为时已晚。
迷水商城#10.1898年，数学家阿说念夫·赫维茨（Adolph Hurwitz）标明，汉密尔顿未能弄明晰如何作念三元数乘法并不是由于缺少知勤恳；汉密尔顿为我方设定的问题只可在维度1、2、4和8中杀青。这种征象的最新体现来自弦表面背后的数学，它只适用于某些“魔术”维度。
#11.受康德影响的汉密尔顿早先试图将他的数学念念想与代数作为纯时候科学的不雅点连系起来，这使他觉得代数应该仅限于考虑安静结合律的运算。当他遭受非结合运算，如八元数的乘法和他将向量乘以向量的形态时，这使他从头评估了他早期的态度，况且他愈加赞同Peacock和德·摩根（de Morgan）的不雅点，即觉得代数是未解释标记的解放施展。
#12.一个证明性的例子是 w = i， w' = −i。咱们计较
(w)(i)(w') = −iii = i
(w)(−i)(w') = +iii = −i
(w)(j)(w') = −iji = −j
(w)(−j)(w') = +iji = j
(w)(k)(w') = −iki = −k
迷水商城(w)(−k)(w') = +iki = k
向量 i 和 −i 保持固定，而 j 和 −j 被交换，k 和 −k 被交换，正如咱们在围绕 i 轴旋转 180 度时所盼望的那样。
#13.另一个可能导致汉密尔顿推断他需要他的乘法詈骂交换的旅途（尽管不是他实验衔命的旅途）是辩论乘积(i − j)(i + j)。由于它是两个非零四元数的乘积，模定律意味着它必须詈骂零的。然则，凭据分派律，它张开为 ii + ij − ji − jj。由于 ii = jj = −1，因此第一项和第四项对消，得到 ij − ji。因此，不等式 (i − j)(i + j) ≠ 0 径直示意了 ij − ji ≠ 0 的不等式，这只是 ij ≠ ji 的另一种说法。
#14.在毕达哥拉斯机要想法中，tetractys（圣十）是一个由十个点构成的三角形，每边有四个点，通过1 + 2 + 3 + 4的和来代表数字四。将四元数与这个机要的绚丽连系起来有点牵强。但是说到tetractys，这里有一个小的数学历史诡计论给你。你听说过一个被毕达哥拉斯兄弟会谋杀的喜帕索斯（Hippasus）吗？故事是这么的，他们这么作念是为了攻击喜帕索斯证明（或者是为了宣传？）2平方根的特地性。但这只是一个封面故事。他确凿的“罪恶”，被兄弟会粉饰了两千年，是发明了今天被称为保龄球的亵渎通顺。
参考文件
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威廉·罗文·汉密尔顿，《四元数讲座》（齐柏林，1853年） https:///details/lecturesonquater1853hami
威廉·罗文·汉密尔顿，《四元数元素》（齐柏林，1866年） https:///details/elementsquaterni00hamirich
迷水商城威廉·罗文·汉密尔顿，《时候之一，空间三东说念主：威廉·罗文·汉密尔顿爵士诗集》 https://web.mit.edu/redingtn/www/netadv/SP20141215.html
凯西琼斯，《四元数是惊东说念主的，威廉·罗文·汉密尔顿亦然如斯！》 https://www.youtube.com/watch?v=CdwxpSInhvU
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Jose Pujol， 《汉密尔顿、罗德里格斯、高斯、四元数、旋转：历史再评估》， 2012.1 数学分析通信 13(2) https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-analysis/volume-13/issue-2/Hamilton-Rodrigues-Gauss-Quaternions-and-Rotations-aHistorical-Reassessment/cma/1349803591.full
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绝对领域 双马尾协会买家秀 且听风吟B. L. van der Waerden，《汉密尔顿对四元数的发现》，《数学杂志》，第49卷，第5期，1976.11 https://www.maa.org/sites/default/files/images/images/upload_library/22/Allendoerfer/1977/0025570x.di021097.02p0154a.pdf
安妮·范·韦尔登，《凯瑟琳·迪斯尼：列传素描》 https://annevanweerden.nl/docs/Catherine_Disney.pdf
安妮·范·韦尔登，《维多利亚时间的婚配：威廉·罗文·汉密尔顿爵士》 https://annevanweerden.nl/VictorianMarriage.html
维基百科，《四元数的历史》 https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_quaternions
维基百科，《威廉·罗文·汉密尔顿》 https://en.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton
查理伍德，《催生当代代数的奇怪数字》，量子杂志，2018-9-6 https://www.quantamagazine.org/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra-20180906/
迷水商城原文流畅：
https://mathenchant.wordpress.com/2023/05/17/hamiltons-quaternions-or-the-trouble-with-triples/
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